为了让流动儿童正常接受义务教育，江苏省教育厅采取的是“两为主”的解决原则：以流入地政府管理为主，以在公办中小学就读为主。本研究选取苏州市E区以接纳流动儿童为主的6所公办初级中学，以7年级刚入学的学生为调查对象。流动学生样本容量为1484名，其中男生886名，女生598名，年龄在11～13岁之间。在调查研究中，由于测试量表的内容仅涉及4～6年级数学运算知识和技能，因此，关于测试对象的数据描述可以看作流动儿童长时记忆中的数学运算知识和技能的评价。

      本研究依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《课标》）和江苏省4～6年级数学教材中关于数学基本运算的内容和认知程度，编制数学运算技能的测试量表。该量表的形成主要经历了3个阶段：第一阶段，根据研究的框架，初选出试题；第二阶段，征询专家意见，筛选和修改试题；第三阶段，广泛征求专家、教授和一线教师的意见，精选试题，形成最终的测试量表（见表1）。同时，为了排除各种可能因素对测试的影响，研究者制作了指导语，并将指导语印在每份测试量表上，尽量使被试明确测试要求。

表1  数学运算技能测试量表

      运用测试卷调查的方法收集资料。本研究共发出测试量表1505份，回收1505份，回收率是100%，有效测试量表1484份，约占回收测试卷的98.6%。对全部有效测试量表，本研究采用将EXCEL数据导入MYSQL数据库中，使用数据库SQL语句进行数据分析。

     以10分作为区间值，图1显示了各个分数段的流动儿童的人数比率。由图1可见，在[0,40)这个分数段，流动儿童的人数比率最高为32.01%；其次，在[50,60)这个分数段，流动儿童的人数比率也较高，为21.9%；同时，在[40,50)这个分数段，流动儿童的人数比率达到了18.19%。由此可见，在[0,60)这个分数段，流动儿童的人数比率达到了72.1%。这充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的学习情况极不理想。同时，在[60,70)这个分数段，流动儿童的人数比率较高，为13.41%。这意味着，有一部分流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，会存在学习情况不稳定的现象。基于上述数据的分析，可以发现，绝大多数流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，学习上会存在较大的困难。

图1  各个分数段的流动儿童的人数比率

     由图1还可进一步显示，在[90,100)这个分数段，流动儿童的人数比率最低，仅为0.88%；而在[80,90)这个分数段，流动儿童的人数比率即使稍高了一点，也仅为3.23%。由此可见，在[80,100]这个分数段，流动儿童的人数比率仅仅只有4.11%。这充分说明，只有极少数的流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握达到良好或良好以上的学习程度。为了更加全面地描述上述现状，并且探究可能的原因和提出相应的教学建议，本研究选取内容、认知程度、内容-认知程度这三个方面对流动儿童的数学运算技能进行深入地研究。

    对于三级指标的每一个内容，我们进行了比较，在“数与式”这个内容中，首先，对于“负数”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为82.08%；其次，是“运算律”这个内容的理解和掌握，流动学生的得分率为73.37%；再次，是“小数”和“混合运算”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为63.78%和61.58%；最后，在“函数”这个内容中，对于“规律或变化趋势”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为68.97%。这充分说明，与现实情境结合紧密的数学运算知识（如负数）和技能（如规律或变化趋势）、用自然数的特殊形式来表征的“数”（如小数）和以机械思维活动为主要特征的数学运算技能（如运算律、混合运算），对于流动儿童而言较易理解和掌握。在“数与式”这个内容中，首先，对于“解决问题的策略”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最低，为6.99%；其次，是“四则运算”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率为22.82%；再次，是“数量关系”和“方程”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为31.39%和32.85%。这充分说明，在解决实际生活中的问题或者较抽象的数学问题中对合适方法的选择性和创造性，如四则运算的有效应用和借助几何直观对图形问题进行描述和分析，以及在实际问题的解决过程中模型思想的建立，对于流动儿童的理解和掌握存在较大的困难。

     综上可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，数学运算知识和技能的抽象程度与流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。

     对于学生数学学习水平（即认知程度）的刻画，《课标》使用“了解”“理解”“掌握”和“运用”这四个描述结果目标的行为动词。本研究使用这四个描述结果目标的行为动词，对流动学生的数学运算技能的认知程度进行了刻画。

     对于每一个认知水平，图2显示了流动儿童的得分率。由图2可见，首先，在认知水平的“运用”层次，流动儿童的得分率最高，为62.36%；其次，是认知水平的“了解”层次，流动儿童的得分率为52.92%。此外，在认知水平的“理解”层次，流动儿童的得分率最低，为35.15%。由《课标》可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，“运用”层次没有涉及解决问题时综合使用已掌握的对象来创造适当的方法和基于严密逻辑推理的证明，“了解”层次仅仅涉及在具体实例或情境中知道、举例说明或初步认识对象的有关特征，而“理解”层次却不仅仅局限于正确地进行运算，还涉及对运算的算理的正确感悟和理解。因此，上述数据充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的运算行为以根据法则和运算律正确地进行运算为主，思维能力是通过对既定程序的反复操作获得的，思维活动上具有机械性的特征，并且对于学习对象简单或简便的模仿、记忆和训练较易接受。

图2  认知水平的得分率

      通过比较流动儿童在测试量表涉及的内容的每一个认知水平的得分率，对于“自然数”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为58.76%，在认知水平的“了解”层次的得分率为33.76%。这充分说明，和知道、初步认识自然数的抽象化过程以及蕴含其中的抽象概念，如最大公因子等，流动儿童更易于理解和掌握数系形式中的自然数及其运用。对于“数量关系”这个内容，流动儿童在认知水平的“了解”层次的得分率为65.7%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为22.82%；对于“比及按比例分配”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为45.35%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为0.74%。这充分说明，对于实际情境中的简单问题，流动儿童更易于辨认、知道或初步认识蕴含其中的数量关系或比例关系，但是，对于实际问题的抽象化，如在现实生活中建立反映数量关系的式子，以及数学方法在问题解决上的应用性、选择性和创造性，如比例关系的建立、方程的表示等，会存在较大的困难。

     此外，对于认知水平的“了解”层次，“数量关系”这个内容的得分率为65.7%，而“自然数”这个内容的得分率为33.76%，前者高于后者；对于认知水平的“理解”层次，“负数”这个内容的得分率最高，为82.08%，而“正比例”这个内容的得分率最低，为14.29%；对于认知水平的“掌握”层次，“小数”这个内容的得分率最高，为63.78%，而“比及按比例分配”这个内容的得分率最低，为0.74%；对于认知水平的“运用”层次，“运算律”这个内容的得分率最高，为73.37%，而“解决问题的策略”这个内容的得分率最低，为6.99%。这充分说明，在认知水平较低的层次上，数学运算的知识和技能的抽象性不会影响流动儿童的学习，但是，随着认知水平的逐渐提高，数学运算的知识和技能的抽象性、对已学习对象的综合使用、问题解决中方法的选择性、创造性会严重影响流动儿童的学习。也就是说，随着认知水平的逐渐提高，上述这两个变量之间会呈现明显的负相关性。